Quand l'étudiant bat les experts

Une histoire qui donne le vertige

Pendant des décennies, les mathématiciens étaient persuadés qu'une conjecture célèbre sur le renversement des fonctions était probablement vraie. Ils n'arrivaient simplement pas à le prouver.

Et puis quelqu'un a utilisé une IA pour chercher un contre-exemple — et en a trouvé un si petit qu'il tient dans un tweet.

De quoi en perdre le sommeil, non ?

Levent Alpöge, qui travaille chez Anthropic (la société derrière Claude), a annoncé récemment sur X qu'il avait utilisé Claude Fable 5 pour dénicher un contre-exemple à la conjecture jacobienne. Concrètement, il a prouvé que cette conjecture est fausse — du moins pour certaines dimensions.

Mais attention, ce n'est pas juste une anecdote de plus sur l'IA qui fait des miracles. Il y a quelque chose de presque poétique dans cette histoire.

De quoi parle-t-on exactement ?

Essayons de rendre ça intelligible, parce que la définition sur Wikipedia... disons que ça donne mal à la tête.

Imaginez une fonction comme une machine : vous y introduisez des nombres, elle en ressort d'autres selon une règle précise. La conjecture jacobienne pose une question simple : peut-on toujours inverser cette machine ? Existe-t-il une fonction qui défait ce que la première a fait ?

Mettez ça en image : si votre fonction déplace des points dans l'espace, la conjecture affirme que tant qu'on ne "plie" pas l'espace d'une certaine façon (mesurée par le "déterminant jacobien"), on devrait pouvoir tout remettre en place.

Ça paraît logique, non ?

Le problème : personne n'a jamais réussi à prouver que c'est toujours vrai. Et maintenant, grâce à un coup de main de l'IA, on sait que c'est faux dans certains cas.

Le retournement : bien plus simple que prévu

Voilà ce qui fait jaser les mathématiciens : le contre-exemple découvert par Alpöge est minuscule. Presque gênant. Il tiendrait dans un seul message sur les réseaux sociaux.

Le vrai défi pour trouver un tel contre-exemple, c'est de construire un type très précis de fonction — une qui ne plie pas l'espace ET qui ne peut pas être inversée. Ces deux conditions semblent contradictoires. Pourtant, elles coexistent dans certaines dimensions.

Et le meilleur dans tout ça : les experts pensaient que de tels exemples n'existaient peut-être pas, ou seraient d'une complexitéemonbrée. Au lieu de ça, Claude a trouvé quelque chose de si court et élégant qu'un utilisateur de Math Stack Exchange l'avait prédit des années plus tôt : "un étudiant de troisième année pourrait simplement écrire une formule" qui casserait tout.

Il avait raison. La formule est si courte que d'autres mathématiciens l'ont vérifiée quasi instantanément après le post d'Alpöge.

Pourquoi ça devrait vous importer ?

Je devine votre pensée : "Super, une histoire de maths qui ne change rien à ma vie. Pourquoi m'en soucier ?"

Question légitime. Voici mon avis : cette histoire n'est pas vraiment une question de maths. C'est une question de ce que ça représente.

On vit une époque où l'IA devient un véritable partenaire dans la créativité et la découverte humaine — pas juste un outil qui exécute des tâches précises, mais quelque chose qui nous aide à penser différemment. Le fait qu'un modèle d'IA sorti il y a quelques semaines seulement ait contribué à résoudre un problème presque centenaire ? C'est remarquable.

On retrouve là un schéma de plus en plus courant : l'IA apportant des contributions réelles dans des domaines qu'on croyait à l'abri de l'automatisation. Mathématiciens, physiciens, programmeurs — ce ne sont pas des professions qu'on s'attendait à voir "bouleversées". Et pourtant.

Notons quand même que la version originale de la conjecture en deux dimensions (datant de 1884 !) n'est toujours pas résolue. Il reste du travail. Mais pour les dimensions trois et au-delà ? Affaire classée.

L'image plus large

Ce qui me fascine le plus dans tout ça, c'est ce que ça révèle sur l'intuition en mathématiques. Pendant des décennies, les experts étaient convaincus que la conjecture jacobienne était probablement vraie. Ils ont bâti des carrières là-dessus. Et voilà qu'une recherche rapide par une IA montre que cette intuition était fausse — du moins pour les dimensions supérieures.

Il y a une leçon à retenir : même les gens les plus brillants peuvent passer à côté de l'évident quand ils cherchent dans la mauvaise direction. Parfois, il suffit d'un regard neuf — ou d'un réseau de neurones frais — pourpointer ce qui est sous le nez de tous.

Quel que soit votre avis sur l'IA, une chose est sûre : ces temps-ci sont curieux et passionnants à vivre.